FASCINACIJA NESAGLEDIVIM: Zašto nas paradoksi beskonačnosti zbunjuju i dan-danas

Piše: Alan Lightman

U priči Jorgea Luisa Borgesa Knjiga od pijeska tajanstveni stranac pokuca na vrata pripovjedača i ponudi mu na prodaju Bibliju do koje je došao u jednom malom selu u Indiji. Na knjizi se vide tragovi brojnih ruku koje su je držale. Stranac kaže da ju je nepismeni seljak koji mu je dao knjigu nazvao Knjigom od pijeska „jer ni pijesak ni ova knjiga nemaju ni početka ni kraja”. Otvorivši svezak, pripovjedač otkriva da su stranice zgužvane i loše složene te da se u gornjem kutu svake stranice nalazi nepredvidiv arapski broj. Stranac predlaže pripovjedaču da pokuša pronaći prvu stranicu. Ali, to je nemoguće.

Bez obzira na to koliko se približi početku, između korica i njegove ruke uvijek ostane nekoliko stranica. „Kao da izrastaju iz same knjige.” Stranac zatim zamoli pripovjedača da pronađe kraj knjige. Ponovno ne uspijeva. „To nije moguće”, kaže pripovjedač. „Nije moguće, ali jest”, kaže prodavač Biblije. „Broj stranica u ovoj knjizi doslovno je beskonačan. Nijedna stranica nije prva; nijedna stranica nije posljednja.” Stranac zastane i zamisli se. „Ako je prostor beskonačan, nalazimo se bilo gdje, u bilo kojoj točki prostora. Ako je vrijeme beskonačno, nalazimo se u bilo kojoj točki vremena.” (Napomena za pažljivog čitatelja: Ne možemo se nalaziti u bilo kojoj točki vremena. Život može postojati samo tijekom razmjerno kratkog razdoblja kozmičke povijesti.)

Beskonačnost je nemoguće vizualizirati

Misli o beskonačnosti tisućljećima su opčinjavale i zbunjivale ljudska bića. Za matematičare je beskonačnost intelektualno igralište na kojem se beskonačan niz razlomaka može zbrojiti u 1. Za astronome je pitanje proteže li se svemir unedogled. A ako je tako, kako kozmolozi danas vjeruju, posljedice su uznemirujuće. Kao prvo, negdje u kozmosu trebao bi postojati beskonačan broj kopija svakoga od nas. Naime, čak i situacija s neznatnom vjerojatnošću — poput nastanka točnog rasporeda atoma neke određene osobe — kada se ponovi beskonačan broj puta, događa se beskonačan broj puta. Beskonačnost pomnožena bilo kojim brojem (osim nulom) jednaka je beskonačnosti. Beskonačnost je nemoguće izmjeriti, ili je barem nemoguće izmjeriti prema uobičajenim shvaćanjima veličine.

Ako beskonačnost prepolovite, svaka je polovica i dalje beskonačna. Ako umorni putnik stigne u potpuno popunjen hotel beskonačne veličine, nema nikakva problema. Jednostavno premjestite gosta iz sobe 1 u sobu 2, gosta iz sobe 2 u sobu 3 i tako dalje unedogled.

Pritom ste smjestili sve dotadašnje goste i oslobodili sobu 1 za novopridošlog gosta. U hotelu beskonačnosti uvijek ima mjesta. Možemo se igrati beskonačnošću, ali je ne možemo vizualizirati. Nasuprot tome, možemo vizualizirati leteće konje. Vidjeli smo konje i vidjeli smo ptice, pa možemo u mislima konju pričvrstiti krila i poslati ga u zrak. S beskonačnošću to nije moguće. Nemogućnost vizualizacije beskonačnosti dio je njezine mističnosti.

Srodnost beskonačnosti i ništavila

Čini se da je prva zabilježena predodžba beskonačnosti nastala oko 600. godine prije Krista, a pripisuje se grčkom filozofu Anaksimandru, koji je upotrebljavao riječ apeiron, što znači „neomeđen” ili „bezgraničan”. Prema Anaksimandru, Zemlju, nebesa i sve materijalne stvari uzrokovala je beskonačnost, iako sama beskonačnost nije bila materijalna tvar. Drugi su starogrčki filozofi smatrali da je beskonačnost nešto negativno, čak i zlo, jer se nemogućnost mjerenja neke stvari smatrala njezinim nedostatkom — s iznimkom beskonačnog i nemjerljivog Jednog. Otprilike u isto vrijeme kad i Anaksimandar, Kinezi su upotrebljavali riječ wuji, koja znači „bezgraničan”, i wuqiong, koja znači „beskrajan”, te su vjerovali da je beskonačnost vrlo bliska ništavilu. U kineskoj su misli postojanje i nepostojanje, poput jina i janga, međusobno usklađeni — otuda srodnost beskonačnosti i ništavila.

Nekoliko stoljeća poslije Aristotel je tvrdio da beskonačnost zapravo ne postoji. Priznao je postojanje onoga što je nazvao potencijalnom beskonačnošću, poput skupa prirodnih brojeva. Za svaki broj uvijek možete stvoriti veći broj tako da mu dodate jedan. Taj se postupak može nastaviti sve dok imate snage, ali nikada ne možete stići do beskonačnosti. Doista, jedno od mnogih intrigantnih svojstava beskonačnosti jest to da do nje ne možete stići odavde. Beskonačnost nije samo sve veća i veća količina konačnoga. Čini se da je posve drukčije prirode, iako se njezini dijelovi mogu činiti konačnima, poput velikih brojeva ili velikih prostornih prostranstava. Beskonačnost je zasebna pojava. Sve što vidimo i doživljavamo ima granice, međe i opipljiva svojstva. S beskonačnošću nije tako. Iz sličnih su razloga sveti Augustin, Spinoza i drugi teološki mislioci povezivali beskonačnost s Bogom: s neograničenom Božjom moći, neograničenim Božjim znanjem i Božjom bezgraničnošću. „Bog je posvuda i u svim stvarima, utoliko što je bezgraničan i beskonačan”, rekao je sveti TomaAkvinski.

Kontroverzna i paradoksalna tema

Izvan religijskog područja nematerijalnog svijeta fizičari vjeruju da bi i u materijalnom svijetu mogle postojati beskonačne stvari. No to se uvjerenje nikada ne može dokazati. Odavde se do beskonačnosti ne može stići. Većina nas prve naznake beskonačnosti doživljava u djetinjstvu, kada prvi put pogleda noćno nebo. Ili kada otplovimo na more, izvan vidokruga kopna, i promatramo ocean koji se proteže unedogled, sve dok se ne spoji s horizontom. No to su samo naznake, poput brojanja do nekoliko tisuća u okviru Aristotelove potencijalne beskonačnosti. Ostajemo zapanjeni. Ali nismo joj se ni približili.

Pojam beskonačnosti i danas je kontroverzna i paradoksalna tema koja potiče održavanje međunarodnih konferencija i žustre znanstvene rasprave. Mogu li fizičke sile ikada biti beskonačne jakosti? Može li se fizički prostor neograničeno protezati kroz galaksiju za galaksijom? Postoji li beskonačnost između beskonačnosti prirodnih brojeva i beskonačnosti svih brojeva? U svibnju 2013. skupina znanstvenika i matematičara okupila se u New Yorku kako bi raspravljala o dubokim zagonetkama koje okružuju beskonačnost. William Hugh Woodin, matematičar sa Sveučilišta Kalifornija u Berkeleyju, ovako je to opisao: „To je pomalo kao da matematika živi na stabilnom otoku — izgradili smo čvrste temelje. A onda postoji ona divlja zemlja ondje vani. To je beskonačnost.”

(Izvor: awaken.com; 8. listopada 2026.)